Cómo calcular la distancia desde la orilla hasta el horizonte del mar.

Para calcular de forma aproximada esa distancia es necesario tener en cuenta primeramente varios factores, como la altura a la que nos encontramos situados sobre el nivel del mar y nuestra propia altura como sujeto observador. Otro factor a tener en cuenta es si el lugar donde nos encontramos ubicados se corresponde con un punto que coincida con la línea del Ecuador, con los polos terrestres o si, por el contrario, es un lugar intermedio localizado entre el Ecuador y los polos.

Si una persona se encuentra junto a la orilla del mar observando el horizonte al frente, la distancia que lo separa de ese punto o su alcance visual no será el mismo que si la observación la realiza desde una altura mayor, como la cima de una loma, de una montaña, desde un balcón, o desde el techo de un edificio alto, teniendo en cuenta también el lugar o punto geográfico de la Tierra donde ésta se encuentre situada.

En dependencia de las diferentes circunstancias expuestas, la distancia que separa a una persona de un punto en la línea del horizonte se puede calcular desarrollando el teorema de Pitágoras aplicado a la figura de un triángulo rectángulo.

Como ya conocemos, un triángulo rectángulo se compone de dos líneas rectas que se unen en sus extremos formando un ángulo recto (o sea de 90º), denominadas "catetos" y una tercera que une los extremos libres de ambos catetos, llamada "hipotenusa". De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la suma de los catetos elevados al cuadrado, será igual al cuadrado de la hipotenusa, por lo que conociendo el valor o medida de dos de las líneas rectas que forman el triángulo, podemos conocer el valor de la tercera desarrollando la fórmula matemática que postula el teorema.

La ilustración de la derecha corresponde a un triángulo rectángulo compuesto por dos catetos, que al unirse en sus extremos forman un ángulo recto o de 90º, y una hipotenusa que cierra los dos extremos libres de ambos catetos. De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Por tanto, la representación matemática de este teorema sería la siguiente:

             (cateto a)² + (cateto b)² = hipotenusa²

Cuando una persona observa directamente hacia el horizonte del mar su visión forma una línea recta imaginaria, tangente con un punto del propio horizonte. Esa línea tangencial, después de encontrarse con el horizonte, lo rebasa para perderse a continuación en el infinito debido a la curvatura de la Tierra. Para conocer cuál es la distancia que separa a esa persona de la línea del horizonte, será necesario calcular el valor o medida de la parte de línea tangencial que se extiende entre ambos puntos.

El diámetro de la línea del Ecuador que divide la esfera terrestre en. dos hemisferios, uno Norte y otro Sur, mide 12 756 kilómetros. aproximadamente. En la figura de la izquierda, esa línea se. representa por medio de un óvalo color azul. Sin  embargo,  debido. a que la Tierra no es completamente redonda, sino achatada en los. polos, el diámetro de la circunferencia entre el polo Norte y el polo. Sur mide alrededor de 42 kilómetros menos que el correspondiente- a la circunferencia de la línea ecuatorial. A ese diámetro entre los. polos, representado en la figura por un óvalo rojo, pertenece el. meridiano “0º” o de Greenwich (GMT), que rige el cambio de la hora. en todo  el  mundo  y  por  el  lado  opuesto  el  meridiano  180º  de. cambio de la fecha.

Todos conocemos que la Tierra tiene aproximadamente la forma de una esfera, por lo que el diámetro correspondiente con la línea del Ecuador mide 12 756 km aproximadamente. Sin embargo, como en realidad la Tierra no es una esfera perfecta debido al achatamiento que presenta entre sus polos, el diámetro medido entre los polos Norte y Sur se reduce en unos 42 km aproximadamente con relación diámetro del Ecuador.

Para facilitar la operación matemática que se pretende demostrar a continuación, en lugar de kilómetros (km) como unidad de medida lineal, utilizaremos el metro (m) . Al final el resultado lo convertiremos de nuevo en kilómetros.

En la  ilustración  de  la  izquierda  que  simula  la. Tierra, se puede apreciar que la línea o radio ( r₁ ). parte  del  centro  ( 0 )  de  la  circunferencia  y. termina  en  un  punto  externo  de  la  propia. circunferencia, a la que se le añade el tramo "h" ,. correspondiente a la altura del observador. La. suma de los valores de esos dos segmentos de. recta forman la hipotenusa del triángulo.

Si  el  observador  se  encuentra  situado  en  un. punto  coincidente  con  la  línea  ecuatorial,  la. medida del radio ( r₁ ) será la mitad de los 12 756. km que tiene el diámetro del Ecuador.

El valor de la línea recta correspondiente al radio ( r₁ ) en la ilustración de arriba, medida desde el centro de la circunferencia ( 0 ) hasta el punto donde toque la línea ecuatorial será el resultado de dividir 12 756 km entre 2, o sea, 6 378 km . Si esa medida en kilómetros la convertimos en metros el resultado será:

6 378 x 1 000 = 6 378 000 m

Esa misma medida le corresponde, igualmente, al radio ( r₂ ) que, como se puede apreciar en la propia ilustración, constituye también uno de los dos catetos que forman el triángulo rectángulo.

El valor del otro cateto o tramo de la línea tangencial "t" que debemos calcular será, precisamente, la medida correspondiente a la línea visual que se extiende entre la persona y el punto que ésta observa en el horizonte. En el mismo horizonte ese punto coincidirá también con el extremo libre del radio ( r₂ ), donde se originará un ángulo recto o de 90º , que dará lugar a la formación del triángulo rectángulo.

Para realizar el cálculo del valor de la línea visual “ t ” supondremos que la persona que observa el horizonte es un niño que se encuentra de pie junto a la orilla del mar. Supongamos también que la altura del niño (señalada en la figura anterior y en la figura de la derecha como “h”), es de 1 metro. Si al valor del tramo de recta o radio de circunferencia ( r₁ ) le sumamos la altura "h" de 1 m que tiene el niño, obtendremos el valor de la medida correspondiente a la hipotenusa que nos falta para completar el triángulo rectángulo:

          r₁ + h = 6 378 000 m + 1 m = 6 378 001 m

Una vez que conocemos que el valor o medida del radio de la circunferencia ( r₂ ), es 6 378 000 m, equivalente a uno de los catetos del triángulo y que el valor de la hipotenusa es de 6 378 001 m , la medida que nos falta obtener para hallar la distancia que buscamos será la correspondiente al cateto “t”, para lo cual desarrollaremos el teorema de Pitágoras.

Como se mencionó anteriormente y de acuerdo con ese teorema, la suma del cuadrado de los catetos será igual al cuadrado de la hipotenusa:

(cateto a)² + (cateto b)² = hipotenusa²

Como uno de los catetos del triángulo rectángulo es ( r₂ ) , la hipotenusa (r₁ + h) y  el cateto desconocido es “ t ” , podemos plantear la fórmula matemática de la forma siguiente:

( r₂ )² + ( t )²  =  ( r₁ + h )²

Para hallar el valor del cateto desconocido “ t ”, tendremos que despejar primero ( t )² . Para ello el valor ( r₂ )² lo pasamos al lado derecho del signo de igualdad en la fórmula. Como se sobreentiende que ( r₂ )² es un valor positivo (aunque no tenga representado gráficamente el signo "+"), al pasarlo al otro lado del signo de igualdad su valor cambia a negativo "–" , tal como se puede observar a continuación con ( t )² ya despejada.

( t )²  =  ( r₁ + h )² – ( r₂ )²

Seguidamente procedemos a sustituir los valores numéricos conocidos para ( r₁ + h ) y para ( r₂ ) . De esa forma tendremos:

( t )²  =  ( 6 378 001 )²  –  ( 6 378 000 )²

Si a continuación multiplicamos por sí mismos esos valores para elevarlos al cuadrado y realizamos la resta indicada en la fórmula, el resultado será el siguiente:

( t )²  =  40 678 896 756 001  –  40 678 884 000 000

( t )²  =  12 756 001

Este resultado muestra que el valor de ( t )² es 12 756 001 metros. Pero para conocer realmente cuál es el valor del cateto, es necesario hallar la raíz cuadrada de ( t )²:

( t )²  =  12 756 001

t  =  3571,55 metros

Por tanto, 3 571,55 metros será la medida del cateto, equivalente también a la distancia en metros que separa al niño de la línea del horizonte del mar.

Para finalizar la operación convertimos los metros en kilómetros, como se planteó al principio. Para ello dividimos el valor obtenido en metros entre mil:

3 571,55 / 1000 = 3,571 km

Y ese será el resultado de la distancia en kilómetros que separa al niño de la línea del horizonte.

Si en lugar de un niño fuera un hombre el que observa el horizonte, su alcance visual tendría mayor alcance debido a que tendría también una estatura mayor. Si estuviera situado en la cima de una montaña de mil metros de altura, habría que sumarle también a esa altura el  valor de la estatura del hombre y el valor del radio de la circunferencia terrestre. En ese caso el alcance visual hasta el horizonte del mar superaría los 113 km en la línea del Ecuador.

En la figura de la izquierda se aprecia la diferencia entre los catetos de la línea visual del triángulo rojo y del azul. Como se puede observar, el alcance visual de la persona situada en la altura “h₂” es mayor que el de otra situada en la altura “h₁”